Question

如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝，.计划在上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ.

（1）当θ＝时，求∠OPQ的大小；

（2）当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．

Answer

（1）.（2）.

【解析】

（1）设∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanα＝，将θ＝代入得答案；

（2）令f(θ)＝并利用导数求得f(θ)的最大值，即此时的，由（1）可知tanα＝，得答案.

（1）设∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的关系式．

因为∠AQC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以OQ＝

在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，设∠OPQ＝α，则∠PQO＝－α＋θ.

由正弦定理，得＝，即sinα＝cos(α－θ)．

展开并整理，得tanα＝，其中θ∈.

此时当θ＝时，tanα＝.因为α∈(0，π)，所以α＝.

故当θ＝时，∠OPQ＝.

（2）设f(θ)＝，θ∈.

则f′(θ)＝＝.

令f′(θ)＝0，得sinθ＝，记锐角θ0满足，

则，即

列表如下：

θ

(0，θ0)

θ0

f′(θ)

＋

0

－

f(θ)

单调递增

单调递减

由上表可知，f(θ0)＝是极大值，也是最大值．

由（1）可知tanα＝f(θ)>0，则， tanα单调递增

则当tanα取最大值时，α也取得最大值．

故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sinθ＝.