Question

扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.

⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；

⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？

⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.

Answer

（1）；（2）；（3）外周长的最小值为米，此时腰长为米.

【解析】

试题（1）将梯形高、上底和下底用或表示，根据梯形面积的计算得到和的等式，从而解出，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.

试题解析：⑴，其中，，

∴，得， 由，得

∴； 6分

⑵得∵∴腰长的范围是10分

⑶，当并且仅当，即时等号成立．

∴外周长的最小值为米，此时腰长为米． 16分