Question

定义在上的函数对任意都有，且当时，

（1）求证:为奇函数；

（2）求证:为上的增函数；

（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析（3）

【解析】

（1）利用赋值法与定义判断奇偶性；

（2）利用定义证明函数的单调性；

（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式具体化，利用换元法，转化为一个关于k的二次不等式，求最值即可得到k的取值范围．

(1)证明：令，得得

令，得

为奇函数

（2）任取且

即

是的增函数…

（3）

是奇函数

是增函数

令，下面求该函数的最大值

令

则

当时，有最大值，最大值为

的取值范围是