Question

已知函数.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）当时，有两个极值点，

①求的取值范围：

②若的极大值小于整数，求的最小值.

Answer

（1）在，单调递减；（2）①；②

【解析】

（1）求出函数的导数，即可得到函数的单调性；

（2）①依题意，有两个负根，令，利用导数研究的单调性，即可得到，解得即可.

②由①可知：，，∴，使得，则，即为的极大值点，求出极大值的取值范围，即可得解.

【解析】
（1）由题意，，当时，，，∴在，单调递减；

（2）①当时，，有两个负根，

令，，

∴，，，，

即在单调递减，在单调递增，

，，且，∴有两个负根只需，

②由①可知：，，∴，使得，则，即，

且在，，，单增，

在，，，单减，

∴为的极大值点，

，，

，∴单增，∴，

∴.