Question

在三棱锥P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10.

（1）求点A到直线BC的距离；

（2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB，AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

Answer

（1）（2）arccos

【解析】

（1）先根据已知的体积和棱长求出，结合直角三角形的知识可求点A到直线BC的距离；

（2）建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用向量夹角公式可求.

（1）在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，

∵PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10.

∴VP﹣ABC＝VA﹣PBC10，解得PA＝5，

过P作PO⊥BC，交BC于O，连结PO，如图，

由三垂线定理得AO⊥BC，

∵，∴PO，

∴点A到直线BC的距离：

AO.

（2）以P为原点，PC，PB，PA所在直线分别为x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，5），P（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），D（2，，0），

（0，3，0），（2，，﹣5），

设异面直线PB，AD所成角的大小为θ，

则cosθ.

∴异面直线PB，AD所成角的大小为arccos.