Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且acosC＝（2b﹣c）cosA.

（1）若3，求△ABC的面积；

（2）若∠B＜∠C，求2cos²B+cos²C的取值范围.

Answer

（1）（2）（，）.

【解析】

（1）利用正弦定理可求角A，结合数量积3，可求△ABC的面积；

（2）结合角之间的关系，把2cos2B+cos2C化简为，然后结合角的范围可求.

（1）∵acosC＝（2b﹣c）cosA，

∴由正弦定理可得sinAcosC＝（2sinB﹣sinC）cosA，可得sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，

∵B为三角形内角，sinB≠0，

∴cosA，

又∵A∈（0，π），

∴A，

∵bccosAbc＝3，可得bc＝6，

∴S△ABCbcsinA.

（2）∵∠B＜∠C，CB，可得B∈（0，），

∴2B∈（，），

∴cos（2B）∈（，），

∴2cos2B+cos2C＝1+cos2Bcos2Bcos2（B）cos2Bcos2Bsin2Bcos（2B）∈（，）.

∴2cos2B+cos2C的取值范围（，）.