Question

某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y（微克/毫升）与给药时间x（小时）之间的若干组数据，并由此得出y与x之间的一个拟合函数y＝40（0.6^x﹣0.6^2x）（x∈[0，12]），其简图如图所示.试根据此拟合函数解决下列问题：

（1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；

（2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01小时）.

Answer

（1）药峰浓度为10，药峰时间为1.36小时；注射该药后血药浓度逐渐增加，到1.36小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低；（2）2.36小时.

【解析】

（1）根据拟合函数利用换元法可求最值，结合单调性可得血药浓度随时间的变化趋势；

（2）根据半衰期的含义解方程可求.

（1）由y＝40（0.6x﹣0.62x）（x∈[0，12]），

令0.6x＝t，t∈[0.612，1]，

则y＝40（0.6x﹣0.62x）＝40（﹣t2+t），

∴当t∈[0.612，1]，即，x1.36时，

y有最大值为10.

故药峰浓度为10，药峰时间为1.36小时；

由图象可知，注射该药后血药浓度逐渐增加，到1.36小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低；

（2）在y＝40（0.6x﹣0.62x）中，取y＝5，得40（0.6x﹣0.62x）＝5，

即﹣8t2+8t﹣1＝0，解得t或t（舍），

即0.147，得x3.72.

故血药浓度的半衰期为3.72﹣1.36＝2.36小时.