Question

已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上，椭圆C上一点A（2，﹣1）到两焦点距离之和为8.若点B是椭圆C的上顶点，点P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若BP⊥BQ，且满足32的点D在y轴上，求直线BP的方程；

（3）若直线BP与BQ的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

Answer

（1）（2）y＝±x+2（3）经过定点；定点（0，）

【解析】

（1）利用椭圆的定义和待定系数法可求椭圆的方程；

（2）利用BP⊥BQ， 32可得直线的斜率，从而可求直线BP的方程；

（3）先表示直线PQ的方程，结合直线BP与BQ的斜率乘积为常数，建立等量关系进行判定.

（1）由题意设椭圆的方程为：1

由题意知：2a＝8，1，解得：a2＝16，b2＝4，

所以椭圆的方程为：.

（2）由（1）得B（0，2）显然直线BP的斜率存在且不为零，

设直线BP为：y＝kx+2，与椭圆联立整理得：（1+4k2）x2+16kx＝0，x，所以P（，）；

直线BQ：yx+2，代入椭圆中：（4+k2）x2﹣16kx＝0，

同理可得Q（，），由32得，

∴3（xD﹣xP）＝2（xQ﹣xD），∴5xD＝2xQ+3xP，

由于D在y轴上，所以xD＝0，∴，解得：k2＝2，所以k，

所以直线BP的方程为：y＝±x+2.

（3）当直线PQ的斜率不存在时，

设直线PQ的方程：x＝t，P（x，y），Q（x'，y'），

与椭圆联立得：4y2＝16﹣t2，yy'，xx'＝t2，kBP•kBQ•，

要使是一个常数λ，λ＜0，所以不成立.

当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为：y＝kx+t，设P（x，y），Q（x'，y'），

与椭圆联立整理得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣16＝0，x+x'，xx'，

∴y+y'＝k（x+x'）+2t，，

∴kBP•kBQ，

所以由题意得：λ，解得：t，所以不论k为何值，x＝0时，y，

综上可知直线恒过定点（0，）.