Question

对于数列{a_n}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{a_n}为P数列.

（1）若{a_n}的前n项和S_n＝3ⁿ+2，试判断{a_n}是否是P数列，并说明理由；

（2）设数列a₁，a₂，a₃，…，a₁₀是首项为﹣1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；

（3）设无穷数列{a_n}是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列{b_n}，{c_n}是从{a_n}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T₁，T₂，求{a_n}是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若a＞0且T₁＝T₂，则{a_n}不是P数列”.

Answer

（1）数列{an}是P数列；详见解析（2）（3）或；证明见解析

【解析】

（1）先求解数列的通项公式，然后结合P数列的特点进行验证；

（2）先求解数列的通项公式，然后结合P数列的特点列出不等关系，然后进行求解；

（3）根据P数列建立不等关系，求解不等式可得.

（1）∵，

∴，

当n＝1时，a1＝S1＝5，

故，

那么当时，，符合题意，

故数列{an}是P数列.

（2）由题意知，该数列的前n项和为，

由数列a1，a2，a3，…，a10是P数列，可知a2＞S1＝a1，故公差d＞0，

对满足n＝1，2，3，，9的任意n都成立，则，解得，

故d的取值范围为.

（3）①若{an}是P数列，则a＝S1＜a2＝aq，

若a＞0，则q＞1，又由an+1＞Sn对一切正整数n都成立，可知，即对一切正整数n都成立，

由，故2﹣q≤0，可得q≥2，；

若a＜0，则q＜1，又由an+1＞Sn对一切正整数n都成立，可知，即（2﹣q）qn＜1对一切正整数n都成立，

又当q∈（﹣∞，﹣1]时，（2﹣q）qn＜1当n＝2时不成立，

故有或，解得，

∴当{an}是P数列时，a与q满足的条件为或；

②假设{an}是P数列，则由①可知，q≥2，a＞0，且{an}中每一项均为正数，

若{bn}中的每一项都在{cn}中，则由这两数列是不同数列，可知T1＜T2；

若{cn}中的每一项都在{bn}中，同理可得T1＞T2；

若{bn}中至少有一项不在{cn}中且{cn}中至少有一项不在{bn}中，

设{bn'}，{cn'是将{bn}，{cn}中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为T1'，T2'，

不妨设{bn'}，{cn'}中最大的项在{bn'}中，设为am（m≥2），

则T2'≤a1+a2+……+am﹣1＜am≤T1'，故T2'＜T1'，故总有T1≠T2与T1＝T2矛盾，故假设错误，原命题正确.