Question

设椭圆的短轴长为4，离心率为.

（1）直线 与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；

（2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由短轴长为4可求出b的值，再由离心率为，可求出椭圆方程，再将直线方程代入椭圆方程中，解即可.（2）先设，先讨论直线l斜率不存在的情况，再讨论直线l斜率存在，设直线方程为，再联立椭圆方程，两式相减可求出直线l得斜率即可解.

（1）由题意所以,

即椭圆方程为,

,

,即.

（2）设

①当斜率不存在时,，弦的中点不符合题意，舍去.

②当斜率存在时，设直线l方程为.

由点是直线被椭圆所截得的线段的中点，

则有，.

两式相减得，直线的方程为，

所以直线的方程为.