Question

如图，在四棱锥中，，平面，底面为正方形，且.若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积的最小值为_____；当四棱锥的体积取得最大值时，二面角的正切值为_______.

Answer

【解析】

(1)．要求球的表面积的最小值，需求出球的表面积的算式，为此又需求出球的半径，从而根据算式的特点，用函数的单调性或不等式求出最小值．

(2)．列出四棱锥的体积的算式，求出体积取得最大值时变量的取值，从而求出二面角的正切值．

(1)．设，则.∵平面，

∴，又，

∴平面，

则四棱锥可补形成一个长方体，球的球心为的中点，

从而球的表面积为.

(2)．四棱锥的体积，

则，当时，；当时，.

故，此时，.

过作于，连接，

则为二面角的平面角.

∵，∴.