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以下关于圆锥曲线的命题中: ①双曲线与椭圆有相同焦点; ②以抛物线的焦点弦(过焦...

以下关于圆锥曲线的命题中:

①双曲线与椭圆有相同焦点;

②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是相切的;

③设为两个定点,为常数,若,则动点的轨迹为双曲线;

④过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于,则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条;

以上命题正确的个数为(   

A.1 B.2 C.3 D.4

 

C 【解析】 ①直接求解双曲线与椭圆的焦点再判断即可. ②利用焦半径公式分析即可. ③举出反例判定即可. ④设过焦点的直线方程联立抛物线分析即可. 对①, 双曲线的焦点为,椭圆的焦点为 .故①正确. 对②,不妨设以抛物线的焦点弦端点为.则以焦点弦为直径的圆的圆心.又圆的直径,圆心到准线的距离.故以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线是相切的.同理对任意开口的抛物线均成立.故②正确. 对③,当时易得,故的轨迹为线段的中垂线. 对④, 设过抛物线的焦点作直线,则. 设则横坐标之和. 故使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条. 故①②④正确,③错误. 故选:C
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