Question

如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面，分别是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若与平面所成的角为，求线段的长.

Answer

（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由条件可知四边形为平行四边形（菱形），则与的交点为的中点，又为的中点，根据线面平行判定定理，问题可得证；（Ⅱ）由题意，通过计算证明可得，与平面所成的角为，且三角形是以为直角的直角三角形，从而可求线段的长.

试题解析：（Ⅰ）连接交与，连接.

因为为的中点，，所以.

又因为，所以四边形为平行四边形，

所以为的中点，因为为的中点， 所以.

又因为，，所以平面.

（Ⅱ）由四边形为平行四边形，知，

所以为等边三角形，所以，

所以，即，即.

因为平面，所以.

又因为，所以平面，

所以为与平面所成的角，即，

所以.