Question

在所有棱长都相等的三棱柱中，.

（1）证明：；

（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1) 连,,取线段的中点,连接和,再证明平面即可.

(2)根据(1)可知是二面角的平面角,进而找到与平面所成角再求解即可.或者建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面角的方法求解.

（Ⅰ）连,,取线段的中点,连接和,

∵和为等边三角形,

∴,,

又,∴平面,

∴.

（Ⅱ）法一：∵,,

∴是二面角的平面角,

∵平面,∴平面平面,

记与的交点为,过作于,则平面,

∴是与平面所成角.

由题意知为的重心,,

∴,,

∴,∴,

∴.

法二：由,以为轴,为轴,过点平面的垂线为轴,如图建立空间直角坐标系,得

,,,,,,

则,,,

设平面的法向量,

则,得,令得,,

则.

设与平面所成角为,

,

所以与平面所成角的正弦值为.