Question

如图，已知抛物线：上一点，过点作直线交抛物线于另一点，点在线段上，在抛物线上，轴，于点.

（1）若，求的最大值；

（2）求使等式恒成立的直线的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

(1)先求得直线的方程,再设坐标为,求得的解析式,再根据二次函数的值域方法求解最大值即可.

(2) 设,直线的方程为,联立直线与抛物线,根据弦长公式表达出的长度,再代入韦达定理化简求解即可.

（1）由题意知直线的方程为,

因为在抛物线上,则点坐标为,

则,

因为在上的值域为,

则的最大值为.

（2）设,直线的方程为,

联立方程组得,

故知,,,

又因为直线的方程为,

则,

从而有,

即恒成立,即

故知 解得,

所以直线的方程为.