Question

已知椭圆：的左、右顶点分别为，，圆上有一动点，在轴上方，点，直线交椭圆于点，连接，.

（1）若，求的面积；

（2）设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

(1) 设,根据可知,再代入利用椭圆的方程进行化简,进而求得对应的坐标.

(2)法一：设,利用的坐标表达直线方程联立椭圆方程,再分别表示,关于的表达式,进而求得关于的表达式,利用在椭圆上满足的方程进行化简求解,最后再根据解析式求取值范围即可.

法二：设直线为,同法一表达出对应的点与斜率,再列出关于的解析式求范围即可.

（1）设,∵,∴,

则,即,①

∵点在椭圆上,∴,②

联立①,②,消去,得,

∵,∴代入椭圆方程,得,

∴的面积.

（2）法一：设,直线方程为,代入椭圆方程,

即,得,

∵,∴,

整理得.

（注：消去,可得方程∵,也得8分）

此方程有一根为-2,设,则.

代入直线方程,得,

则,,

∵,∴,

∵,,∴.

法二：设直线为,点在圆上,

所以,

设,直线：与椭圆联立,得

,化简得,得,

代入直线方程,得,

,

因为在轴上方,所以,,则,且,

∵,∴.