Question

如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点是圆弧上的一动点（不与重合），点是圆弧的中点，且点在平面的两侧.

（1）证明：平面平面；

（2）设点在平面上的射影为点，点分别是和的重心，当三棱锥体积最大时，回答下列问题.

（ⅰ）证明：平面；

（ⅱ）求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）

【解析】

（1）证明垂直平面内的两条相交直线，再利用面面垂直的判定定理证明即可；

（2）当三棱锥体积最大时，点为圆弧的中点，所以点为圆弧的中点，所以四边形为正方形，且平面.（ⅰ）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，则，再由线面平行的判定定理证得结论；（ⅱ）由平面垂直，所以以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，求两向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值.

（1）因为是轴截面，所以平面，所以，

又点是圆弧上的一动点（不与重合），且为直径，所以，

又平面平面，所以平面，而平面，故平面平面.

（2）当三棱锥体积最大时，点为圆弧的中点，所以点为圆弧的中点，所以四边形为正方形，且平面.

（ⅰ）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，则，

因为分别为两个三角形的重心，∴，

所以，又平面平面，所以平面.

（ⅱ）平面垂直，所以以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，设平面的法向量，则即可取，

又平面的法向量，

所以，所以.

所以平面与平面所成二面角的正弦值为.