Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）.设的外心为，求证为定值.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

（1）当面积最大时，最大，即点位于椭圆短轴顶点时，即可得到的值，再利用离心率求得，即可得答案；

（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，代入椭圆方程得.设，利用弦长公式求得，利用的垂直平分线方程求得的坐标，两个都用表示，代入中，即可得答案.

（1）由题意知：，∴，∴.

设的内切圆半径为，

则，

故当面积最大时，最大，即点位于椭圆短轴顶点时，

所以，把代入，解得：，

所以椭圆方程为.

（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，

代入椭圆方程得.

设，则，

所以的中点坐标为，

所以.

因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，的垂直平分线方程为，

令，得，即，所以

所以，所以为定值，定值为4.