Question

如图，在直棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且平面．

（1）证明：；

（2）若为中点，求直线与直线所成角的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

解法1：（1）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．

设，，求出相应点的坐标，利用空间向量共线的定义求解即可；

（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.

解法2：（1）利用线面平行的性质定理，结合平行线公理进行证明即可；

（2）延长到，使，连接，．利用平行四边形有判定定理、平行四边形的性质可以证明出．所以 直线与直线所成角．利用余弦定理进行求解即可.

解法1：（1）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．

设，，则，，，，，．

所以，，所以，与共线．

因为平面，所以．

（2）因为为中点，所以为中点，故，于是，．

所以，

因此直线与直线所成角的余弦值为．

解法2：（1）因为平面，平面，平面平面，所以．

在直棱柱中，，所以．

（2）延长到，使，连接，．则，，

四边形是平行四边形，所以．故 直线与直线所成角．

设，则，．因为为中点，所以为中点，故．

因为，所以，因此．

在中，．所以直线与直线所成角的余弦值为．