Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.

(1)求A；

(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．

Answer

（1）A＝60°；（2）

【解析】

(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；

(2)利用三角形内角关系求出，结合正弦定理求出关系，利用余弦定理可求.

(1)acos C＋asin C－b－c＝0，由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C，

即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，

又sin C≠0，所以化简得sin A－cos A＝1，所以sin(A－30°)＝.

在△ABC中，0°＜A＜180°，所以A－30°＝30°，得A＝60°.

(2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝.

所以sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝.

由正弦定理得，.

设a＝7x，c＝5x(x＞0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，

即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，解得x＝1，所以a＝7，c＝5，

故S△ABC＝acsin B＝10.