Question

如图，四边形为正方形，，且，平面.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）先推导出平面，进而，能得到平面，从而有再根据DB⊥AC，从而AC⊥平面BDFE，由此能证明平面ACE⊥平面BDFE．

（2）利用空间坐标系，写出平面的一个法向量，并求得平面的法向量为，利用求得二面角的余弦值.

（1）证明：四边形为正方形，.

，，.

又平面，.

,平面，.

又，平面，

平面，平面平面.

（2）【解析】
平面，，平面.

以坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，

则，，，，

则，，

设平面的法向量为，则，

令，则.

易知平面的一个法向量，.

二面角为锐角，二面角的余弦值为.