已知函数. （1）当时，求的单调区间；（2）若，函数在处取得最小值，证明：.

已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若，函数在处取得最小值，证明：.

（1）单调递增区间为，；单调递减区间为（2）证明见解析【解析】（1）利用导数的符号可得结果；（2）化简并求导整理得，对分子构造函数，利用复合函数的单调性可知为增函数，根据零点存在性定理知，在内有唯一零点，设为，则即为的最小值，然后根据二次函数的性质可证不等式. （1）【解析】 . ，由，得或，则的单调递增区间为，. 由，得，则的单调递减区间为. （2）证明：，，设，因为，所以在上为增函数，又，，所以，使得，当时，，递减；当时，，递增. 故且时，，因为，所以对称轴，所以函数在上为增函数，所以即

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考点分析：

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某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：

每月完成合格产品的件数（单位：百件）
频数	10	45	35	6	4
男员工人数	7	23	18	1	1

（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？

	非“生产能手”	“生产能手”	合计
男员工
女员工
合计

（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出件的部分，累进计件单价为1.2元；超出件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望.