Question

已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点，、分别为弦、的中点，求面积的最小值．

Answer

（1）（2）16

【解析】

（1）由抛物线定义可得，故，再由点在抛物线上代入方程即可。

（2）将直线的方程为代入抛物线方程，利用韦达定理和中点坐标公式得出，同理得出。进而求出和 ,又是直角三角形易求面积，利用不等式求出面积的最小值。

（1）抛物线的准线方程为．

由抛物线的定义可得，故．

由点在抛物线上，可得，整理得，

解得或，又，所以．

故抛物线的方程为．

（2）由（1）知抛物线的方程为，焦点为，

由已知可得，所以两直线的斜率都存在且均不为0．

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

故直线的方程为．

联立方程组，消去，整理得．

设，，则，

因为为弦的中点，所以，

由得，故．

同理可得．

故，

．因为，

所以的面积

，当且仅当，即时，等号成立．

所以的面积的最小值为16．