Question

如图，在矩形中，，为边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且使平面平面.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由,可得,利用平面平面,可得平面,则,由折叠知,进而得证；

（2）以的中点为坐标原点,以的方向为轴正方向,过点分别做和的平行线,分别为轴和轴,建立如图所示空间直角坐标系,分别求得平面的法向量和平面的法向量,进而利用数量积求解即可

（1）证明:由题意,又,所以,

又平面平面,且平面平面,所以平面,

故,又,且,所以平面

（2）以的中点为坐标原点,以的方向为轴正方向,过点分别做和的平行线,分别为轴和轴,建立如图所示空间直角坐标系,

则,,,,

设为平面的法向量,则有

则,即,可取,

设为平面的法向量,则有

则,即,可取,

所以,

则二面角余弦值为