Question

已知函数，，，是函数的导函数.

（1）当时，证明：函数在区间没有零点；

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）当时,,由可得,且,,,即可得时,,即可得到恒成立,进而证明；

（2）,则在上恒成立,设,,则,,可得,对求导,由导函数的单调性进而判断的单调性,从而求解即可

（1）证明：若,则,,

又,,故,所以,

又,,,

当时,,

所以恒成立,

所以当时,函数在区间没有零点.

（2）解:,,

故在上恒成立,

设,,

所以,,即,

因为,

由,得,

所以在区间上单调递减,所以；

在区间上单调递增,,

又,所以,,,

故在区间上存在唯一零点区间,由的单调性可知,

在区间上,单调递减；

在区间上,单调递增,

,故