Question

已知三棱锥中，，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为______.

Answer

【解析】

三棱锥，以为底，到平面的距离为高，得到三棱锥在两两垂直时体积最大，此时三棱锥的外接球可以看作是以为棱长的正方体的外接球，从而求出其半径，得到球的体积.

三棱锥，以为底，到平面的距离为高，

则可知平面时，到平面的距离最大为，

底面为等腰三角形，，

所以，当时，的面积最大，即，

所以，当两两垂直时，三棱锥体积最大，

此时三棱锥的外接球可以看作是以为棱长的正方体的外接球，

设球的半径为，则，

解得，

所以所求球的体积为.

故答案为：.