Question

如图，在矩形中，，为边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且使平面平面.

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据已知条件，得到，即，由平面平面，得到平面，从而得到，结合得到平面；（2）过点在平面中向引垂线，垂足，连接和，得到和的长，由平面平面，得到，从而得到，的长，设为的中点，在等腰三角形中，求出的长，利用，求出点到平面的距离.

（1）因为在矩形中，，为边的中点，

所以，又，所以

所以，

又平面平面，且平面平面，平面

所以平面，

而平面，

故，

又，且，平面，

所以平面.

（2）过点在平面中向引垂线，垂足，连接和，

由得为的中点，

所以，，

由平面平面，，

面，平面平面

所以平面，

而平面，

所以，，

故，

设为的中点，连接，在等腰三角形中，

，

设点到平面的距离为，

由，得，

即，

解得.