Question

已知函数，为常数.

(1)讨论函数的单调区间；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1） 当时，单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.

【解析】

（1）对求导，然后分和进行分类讨论，根据的正负，得到的单调区间；（2）由（1）得到，且在处取最小值，从而得到，设，利用导数得到的最大值为，从而得到满足要求的的值.

(1)由题意，

，

当时，，函数在区间上单调递增，

当时，当上，单调递减，

当上，单调递增，

综上所述，当时，单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)由(1)可知

当时，函数在区间上单调递增，

又，与题设矛盾，

当时，

在区间上函数单调递减，区间上函数单调递增，

所以函数即可，

设，，

，

所以当上，单调递增，

当上，单调递减，

所以时，取极大值，也是最大值，

所以，

所以满足不等式的的值只有，

所以时，恒成立.