Question

已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切.

(1)求动圆圆心的轨迹方程；

(2)过点的直线与曲线交于，两点，点是直线上任意点，直线，，的斜率分别为，，，试探求，，的关系，并给出证明.

Answer

(1)；(2)，，成等差数列，证明见解析.

【解析】

（1）根据两圆的位置关系，得到，从而得到椭圆的长轴和焦距，求出椭圆的方程；（2）当斜率为时，得到，当斜率不为，设的方程设为，与椭圆联立，得到，，再表示出并进行化简，得到，从而得到结论.

(1)设动圆的半径为，动圆与圆内切，与圆外切.

则，.

两式相加得，

由椭圆定义知，点的轨迹是以、为焦点，

焦距为，长轴长为

即，，所以

的椭圆其方程为.

(2)设，，，

若斜率为，则，，

得，，，所以，

故猜想，，成等差数列，

设直线的方程设为，

由，消去得，

则有，，

，，，

，

又，，所以，，

所以

，

，

所以可以得到，，

所以，综上所述，，，成等差数列.