Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，求的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求导，，令，显然只需研究与0的大小关系，即可得到函数的单调性，分类讨论，即可求出答案；

（2）由，可得，结合（1）可知，令，可得，再结合的关系式，可得，从而得到，构造函数，研究其单调性，可知时，，又因为，从而可知，即.

（1）由题意，，

令，，

①当，且，即时，，所以在恒成立，故在上单调递减；

②当时，，由得，

当时，，；

当时，，.

故在和单调递减，

在单调递增；

③当时，由得，

当时，；当时，.

故在单调递减，在单调递增；

④当时，，由得或（不合题意，舍去）.

当时，，；当时，，.

故在单调递减，在单调递增.

（2）因为，所以.

由（1）得，故只需，即可满足.

令，则，整理得，即，

所以，

设，所以，

当时，；当时，.

故在单调递减，在单调递增.

又，所以当时，；当时，，

又，因为，所以，，所以，

所以，即，故，又

所以的取值范围是.