Question

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线上一点的极坐标为，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设点在上，点在上（异于极点），若四点依次在同一条直线上，且成等比数列，求的极坐标方程.

Answer

（1）；（2）或

【解析】

（1）先根据平方关系消元得曲线的直角坐标方程，再根据将直角坐标方程化为极坐标方程，最后代入点极坐标，可求出的值，进而得出答案；

（2）先设直线的极坐标方程为，代入，根据成等比数列得，代入化简可得，进而可得出答案.

（1）曲线的直角坐标方程为，化简得，

又，，所以.

代入点，可得，解得或，

因为，所以，所以曲线的极坐标方程为.

（2）由题意，可设直线的极坐标方程为，设点，则.

联立，得，所以，.

联立，得.

因为成等比数列，所以，即.

所以，解得.

所以的极坐标方程为或.