Question

已知函数，其中e为自然对数的底数.

(1)证明：在上单调递增；

(2)函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数a的取值范围.

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）利用函数的单调性定义即可证出.

（2）根据解析式可知与均为上的偶函数，由题意可知只需函数在上的最大值不小于的最大值，由（1）函数为单调递增，即，解不等式即可.

（1）证明：任取，，且，

则

因为，，，所以，，，

所以，即当时，总有，

所以在上单调递增.

（2）【解析】
由，得是上的偶函数，

同理，也是上的偶函数.

总存在，对任意都有，

即函数在上的最大值不小于的最大值.

由(1)知在上单调递增， 所以当时，，

所以.

令，则，令，易知在上递增，

又，所以，即，

所以，即实数的取值范围是.