Question

已知椭圆过点，是该椭圆的左、右焦点，是上顶点，且是等腰直角三角形.

（1）求的方程；

（2）已知是坐标原点，直线与椭圆相交于两点，点在上且满足四边形是一个平行四边形，求的最大值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）将点代入椭圆方程，结合，即可得出椭圆方程；

（2）当直线的斜率不存在时，利用椭圆方程得出；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，并代入椭圆方程，利用韦达定理得出，由中点坐标公式得出点坐标，代入椭圆方程得出，由弦长公式化简得出，再由，确定的最大值.

（1）由已知可得：结合，解得

∴椭圆方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时，方程为，代入椭圆得，此时；

②当直线的斜率存在时，方程为

联立，整理得：

，即

设，由于四边形是平行四边形

∴

∴，故

又点在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程，整理得：

因此

显然，当时，取得最大值，且有.

综上，取得最大值.