Question

已知.

（1）当时，求的单调区间；

（2）设，且，求证：.

Answer

（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析

【解析】

（1）利用导数证明单调性即可；

（2）利用导数证明函数在上单调递增，且，又，不妨设，则有；利用分析法得出要证，只需证明，其中，构造函数，利用导数证明其单调性，得出在的最小值大于4，即可证明.

（1）当时，

∴，

令，解得或

令，解得

因此的单调增区间为，单调减区间为.

（2）∵，

令，则

令，解得

令，解得

故函数在内单调递减，在内单调递增

因此，则函数在上单调递增

且，又，不妨设，则有；

要证，只需证明，由的单调递增，只需证明，

即：，即证明，其中.

设，则

故在上恒成立，则在上单调递增

，故在上单调递增

从而，即有在上恒成立，即有，

从而有，证毕.