Question

已知函数，x∈[－1,1]，函数,a∈R的最小值为h（a）.

（1）求h（a）的解析式；

（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m>n>3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)；(2)答案见解析.

【解析】

试题(1)为关于的二次函数,可用换元法,转化为二次函数在特定区间上的最值问题,定区间动轴;

(2)由(1)可知时,为一次函数且为减函数,求值域,找关系即可.

试题解析：（1）由,
知,

令,设,则,则的对称轴为,故有:

当时,的最小值,

②当时,的最小值,

③当时, 的最小值,

综上所述, h（a）＝

（2）当a≥3时，h（a）＝－6a＋12，故m>n>3时，h（a）在[n，m]上为减函数，

所以h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）].

由题意，则有⇒，两式相减得6n－6m＝n2－m2，又m≠n，所以m＋n＝6，这与m>n>3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值.