Question

如图，在四棱锥中，，，，.

（1）求证:平面平面；

（2）若二面角的正切值为，求与平面所成角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）计算相关线段长度，先通过线面垂直的判定定理证明线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理即可完成证明；

（2）先根据二面角的正切值，采用向量方法求解出的长度，

法（一）：采用几何方法，找到点在平面内的射影点，根据线段长度即可求解出线面角的余弦值；

法（二）：采用向量方法，根据直线方向向量与平面法向量的夹角的余弦值即为线面角的正弦值，即可求解出结果.

（1）依题设得，，故，故，

又，，故且，故底面，

又平面，因此平面平面；

（2）如图，作直线平面，以点为原点，

分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.

则点，，设平面的法向量，

则，取，得，

又设平面的法向量，设，

则，取，得，

由题设知，即，解得

（法一）取中点，连接，则平面，

则是与平面所成角，

因为，，故，

因此，此为所求；

（法二）点，故，平面的法向量，

设与平面所成角为，

则，因此与平面所成角的余弦值为.