Question

已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，直线与圆相切.

（1）求直线和椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，为椭圆上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.

Answer

（1），（2）

【解析】

（1）设出直线的方程，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，据此求解出直线与椭圆的方程；

（2）根据四边形对角线垂直设出直线的方程，再根据四边形对角线的长度表示出四边形的面积，即可求解出面积的最大值.

（1）设，，，，直线，

因为圆，所以圆心到直线的距离，

则，解得，

故直线，椭圆；

（2）把直线代入得，设其两个根为，

所以，

则，

设直线方程为，代入得，设其两个根为，

所以，由得，

且，

所以四边形面积，

当时，四边形面积取得最大值.