Question

已知函数，.

（1）若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；

（2）当时，恒成立，求的最小值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）求解出导函数，根据导函数在的值为即可计算出的值；

（2）解法一：采用分类讨论的思想分析时的取值范围，确定出最小值；解法二：采用参变分离的思想分析问题，构造新函数，利用新函数的最值与的关系求解出的最小值.

（1）依题意故；

（2）解法一:

，

显然，令，则，

所以在单调递增，且，

当即时，，在单调递增，

故等价于，此式已成立，从而满足条件，

当即时，由在单调递增，

，，

故使得，即，

令，即，得，

又令，即，得，因此在处取得最小值，

，又，故，

设，，且，

法一：，故在单调递减，由知，

即，而在单调递减，

所以，即；

法二：，由知，即下同法一；

综上可知，因此的最小值为；

解法二：当时，恒成立，因求的最小值，不妨设，

则只研究，设，下求；

，由，并记，，

即，亦即，

故，因此在单调递增，在单调递减，

所以，即，因此的最小值为.