Question

在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为，(为参数，)，以坐标原点为极点，以轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若曲线和曲线交于两点，且，求实数的值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据参数方程消去参数直接写出的普通方程，利用将的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）方法①：将的参数方程代入到的直角坐标方程，根据的几何意义结合条件等式求解出的值；

方法②：将的普通方程代入的直角坐标方程，根据韦达定理结合条件等式计算出的值即可.

（1）因为参数方程为，所以普通方程为：，

因为的极坐标方程为，所以的直角坐标方程为；

（2）方法①：将曲线的参数方程化为(为参数，)，

代入曲线得方程，

由得，

设点对应的参数分别为，则把上式代入，

化简得，解得或，

而，故为所求；

方法②：将曲线代入曲线得方程，

由得，

设方程的两个根分别为，不妨设，则，，

由题意得，即，

把，代入，

所以，

化简得，解得，此为所求.