Question

已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过坐标原点.数列的前项和为，点在二次函数的图象上.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）在数列中是否存在这样一些项：，这些项都能够构成以为首项，为公比的等比数列？若存在，写出关于的表达式；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ）存在，

【解析】

试题（Ⅰ）由已知可得数列的前项和为的公式，再利用求得数列的通项公式；

（Ⅱ）分n为奇数与偶数先求出，由使对恒成立，通过分离参数t转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；

（Ⅲ）由知，数列中每一项都不可能是偶数，假设存在，对q的每一个取值：1，2，3，4逐一讨论即可获得结论．

试题解析：（Ⅰ）由题意可知

所以

当时，

当时适合上式

所以，数列的通项公式为

（Ⅱ）因为

所以

由（Ⅰ）可知，数列是以1为首项，公差为的等差数列.

当时，

当时，

所以；

要使对恒成立，

只要使为正偶数）恒成立.

即使对为正偶数恒成立，

故实数的取值范围是

（Ⅲ）由知，数列中每一项都不可能是偶数.

如存在以为首项，公比为2或4的数列，此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列.

当时，显然不存在这样的数列.

当时，若存在以为首项，公比为3的数列，则

所以存在满足条件的数列，且