Question

已知三棱锥的外接球O半径为2，球心O到所在平面的距离为1，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A. B. C. D.3

Answer

A

【解析】

首先由球和三棱锥的组合体可知三棱锥的体积最大，转化为半径为的圆内接面积的最大值，由图形可知当的高过圆心时面积最大，利用正弦定理表示三角形的面积，并利用导数求函数的最大值.

由题意可知当三棱锥的体积最大时，点到底面的距离，如图所示， ,

中，,

要求三棱锥体积的最大值，转化为半径为的圆内接面积的最大值，

如图，当的高过圆心时面积最大，此时是等腰三角形，，

根据正弦定理,，

，

，

设 则，

则 ，

令，

，

当时，，

当时，，

当时，此时

,

此时取得最大值.

故选：A