Question

设是椭圆上的点，是焦点，离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上的两点，且，问线段的垂直平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，说明理由.

Answer

（1）（2）过，

【解析】

（1）由条件可知，并且点代入椭圆方程，求得椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，则，与椭圆方程联立，求得的中点坐标，

并表示线段的垂直平分线方程，利用条件，求得直线所过的定点，并说明当斜率不存在时，也满足.

（1）由于椭圆的离心率为，，

所以，椭圆的标准方程为，

将点的坐标代入椭圆的标准方程得，得，

因此，椭圆的方程为；

（2）由题意知，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则.

将直线的方程与椭圆方程联立，得.

由韦达定理可得，①，

所以，，则线段的中点坐标为.

则线段的垂直平分线方程为，即，

即，此时，线段的垂直平分线过定点；

当直线的斜率不存在时，直线的垂直平分线就是轴，也过点；

综上所述，线段的垂直平分线过定点.