Question

已知函数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数在上的值域；

（3）若存在，使得成立，求的最大值.（其中自然常数）

Answer

（1）（2）（3）的最大值为6.

【解析】

）（1）对求导得到，然后代入切点横坐标，得到斜率，点斜式写出切线方程，整理得答案；（2）利用导数判断出的单调性，根据单调性求出其最小值，并比较在两个端点时的函数值，得到最大值，从而得到答案；（3）由（2）可得，要使成立，且的值最大，则，…的值应最小，即，，从而得到，从而得到的最大值为.

【解析】
（1），

∴，又，

∴，即为所求切线的方程.

（2）

令，得（舍去负根）

所以时，，单调递减，

时，，单调递增.

故，

又因为，

，

故，

故时，.

（3）由（2）知，时，.

所以有

而要使成立，且的值最大，

则，…每个的函数值应最小，

即，即，，

从而得到，

所以，

所以的最大值为.