Question

已知函数 ， ,

⑴ 若有零点，求 m 的取值范围；

⑵ 确定 m 的取值范围，使得有两个相异实根.

Answer

(1) ;(2) ;

【解析】

(1) 在x>0时有根,再对 （2）记,证明h(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增，根据零点定理h(e)<0,解得,再证明在(e,+∞)上只有一个零点，在(0,e)上只有一个零点，综上即可得解.

(1) 在x>0有根,当时则或m≤-2e(舍),当时,f(0)=e2,则f(0)≤0无解,则m≥2e.

(2)记,

则可以证明h(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增，证明如下:

任取,令, 由于, , 所以,所以函数在(0,e)上单调递减;同理可证得在(e,+∞)上单调递增,

所以h(e)为函数最小值,根据零点定理h(e)<0,解得,

以下说明必存在函数值大于零:

首先说明(e,+∞)上,当m≥2e时, ,当时, ;所以在(e,+∞)上只有一个零点．

再说明(0,e)上, ,所以取即中中较小值,当即时, ;当即时, ;所以在(0,e)上只有一个零点．

综上, .