Question

如图，四棱锥中，，，，，PA=PD=CD=BC=1.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见证明；（2）

【解析】

（1）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．

（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

（1）∵AB∥CD，∠BCD，PA＝PD＝CD＝BC＝1，

∴BD，∠ABC，，∴，

∵AB＝2，∴AD，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，

∵PA⊥BD，PA∩AD＝A，∴BD⊥平面PAD，

∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．

（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO，

由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，

直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（，0），B（，0），C（，0），P（0，0，），

（﹣1，0，0），（，），

设平面PBC的法向量（x，y，z），

则，取z，得（0，，），

∵（，），

∴cos，

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．