Question

已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，

（1）试求椭圆的方程；

（2）若斜率为的直线与椭圆交于、两点，点为椭圆上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，试问：是否为定值？请证明你的结论

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

（1）由条件得a,c，解得b,即得椭圆标准方程，（2）设C,D坐标，根据斜率公式得，设直线方程并与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理代入化简可得为定值.

（1）．，椭圆的方程为

（2）设直线的方程为：，

联立直线的方程与椭圆方程得：

（1）代入（2）得：

化简得：………（3）

当时，即，

即时，直线与椭圆有两交点，

由韦达定理得：，

所以，，

则

，．