Question

如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接，证明出四边形为平行四边形，由此可得出各边边长，利用勾股定理逆定理可证明出，进而得出，再由侧棱底面，可得出，利用线面垂直的判定定理可证明出平面；

（2）以为原点，、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可求出直线与平面所成角的正弦值．

（1）取的中点，连接．

，，四边形为平行四边形，

且．

在中，，，，，，即，又，所以．

平面，平面，．

又，平面；

（2）以为原点，、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

所以，，．

设平面的法向量，则由，得，

取，得．

设直线与平面所成角为，

则．

因此，直线与平面所成角的正弦值为.