Question

已知椭圆，焦距为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若一直线与椭圆相交于、两点（、不是椭圆的顶点），以为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（1）；（2）存在，直线过定点．

【解析】

（1）根据椭圆的焦距求出的值，进而可得出椭圆的标准方程；

（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据以为直径的圆过椭圆的上顶点，得，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，可得出与所满足的等式，即可得出直线所过定点的坐标.

（1）设椭圆的焦距为，有，，所以，椭圆的焦点在轴上，

得，有，得，故椭圆的标准方程为；

（2）由方程组，得，

即．

，即．

设、两点的坐标分别为、，

则，，，

．

以为直径的圆过椭圆的上顶点，，即，

即，

化简得，或．

当时，直线过定点，与已知矛盾．

当时，满足，此时直线为过定点.

直线过定点．