Question

在数列中，，，数列的前项和为，且．

（1）证明：数列是等差数列．

（2）若对恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据已知可变形为常数；（2）首先求数列的通项公式，然后利用裂项相消法求，若满足对恒成立，需满足， ，求的取值范围.

（1）证明：因为，

所以，，

则．

又，

故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．

（2）由（1）可知，则．

因为，所以，

所以．

易知单调递增，则．

所以，且，解得．

故的取值范围为．