Question

对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．

（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；

（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；

（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析 （2） （3）存在，

【解析】

（1）取特殊值使得不成立，即可证明；

（2）根据“同比不减函数”的定义，恒成立，分离参数，构造函数，转化为与函数的最值关系，即可求出结果；

（3）去绝对值化简函数解析式，根据“同比不减函数”的定义，取，因为成立，求出的范围，然后证明对任意的，恒成立，即可求出结论.

证明：（1）任取正常数，存在，所以，

因为，

即不恒成立，

所以不是“同比不减函数”.

（2）因为函数是“同比不减函数”，

所以恒成立，即恒成立，

对一切成立.

所以.

（3）设函数是“同比不减函数”，

，

当时，因为成立，

所以，所以，

而另一方面，若，

（Ⅰ）当时，

因为，

所以，所以有成立.

（Ⅱ）当时，

因为，

所以，

即成立.

综上，恒有有成立，

所以的取值范围是.